7 वी गणित

 इयत्ता सातवी 

त्रिकोणांचे गुणधर्म 

1. काड्यापेट्यांचे त्रिकोण
तुमच्याकडे काड्याची पेटी आहे?
त्यात किती काड्या आहेत?
प्रत्येक काडीची लांबी किती आहे?
किती काड्या घेऊन एक त्रिकोण बनवता येईल?
तीन? बरोबर.
माझ्या मते तुमचे उत्तर असायला पाहिजे
- कमीत कमी तीन!

तीन काड्या घेऊन एक त्रिकोण बनवा.
या त्रिकोणाला तीन बाजू आहेत
1) l1, 2) l2, आणि 3)l3
तीन्ही बाजू सारख्या आहेत का?
पट्टीने मोजा आणि लिहा.
बाजू 1 - ......सें मी
बाजू 2 - ......सें मी
बाजू 3 - ......सें मी
या त्रिकोणाला तीन कोन आहेत
1) l1  आणि l2 यांनी बनवलेला - याला आपण कोन A म्हणू
2) l1 आणि l3 यांनी बनवलेला - याला आपण कोन B म्हणू
आणि
3) l2, आणि l3 यांनी बनवलेला - याला आपण कोन C म्हणू
तीन्ही कोन सारखे आहेत का?
कोन मापक घेऊन मोजा आणि लिहा.
कोन A - ....अंश
कोन B - ....अंश
कोन C - ....अंश

तीन्ही बाजू समान आणि तीन्ही कोन समान असणाऱ्या त्रिकोणाला काय नाव देतात?

तीन पेक्षा जास्त काड्या घेऊन त्रिकोण बनवा.
काडी मोडायची नाही. त्रिकोणाच्या तीन बाजूंची लांबी सारखीच असली पाहिजे असे बंधन नाही.
दर वेळी
तीन्ही बाजूंची लांबी मोजा, लिहा.
तीन्ही कोनांची मापे मोजा लिहा.

किती काड्या वापरल्या की समभुज त्रिकोण बनतो? सहा? नऊ? बारा? पंधरा?
त्या पेक्षा कमी किंवा जास्त काड्या वापरून त्रिकोण बनवता येईल?
दोन बाजूंना सारख्या संख्येने काड्या वापरून त्रिकोण बनवता येतील?
तीन्ही बाजूंना वेगवेगळ्या संख्येने काड्या वापरून त्रिकोण बनवता येतील.
जास्तीत जास्त 50 काड्या वापरून वेगवेगळ्या आकाराचे त्रिकोण बनवा.
तीन्ही बाजूंची लांबी मोजा, कोनांची माटे मोजा.
किती काड्या वापरल्या वेगवेगळ्या प्रकारांचे त्रिकोण बनवता येतात?

2. A ते Z मधले त्रिकोण
A B C D ...... X Y Z
ही सर्व मुळाक्षरे कागदावर लिहा. प्रत्येक मुळाक्षराची उंची सारखी - उदाहरणार्थ 5 सेंटीमीटर - असायला हवी. किंवा तुम्हाला पाहिजे तेवढी पण एकसारखीच ठेवा.
या मुळाक्षरांपैकी कोणत्या मुळाक्षरात कोन आहे?
कोणत्या मुळाक्षरात त्रिकोण आहे?
कोणत्या प्रकारचा?
कोणत्या मुळाक्षरात छोटीशी रेष काढली की त्रिकोण बनू शकतो?
कोणत्या प्रकारचा?
कोणत्या मुळाक्षरात दोन छोट्या रेषा काढून त्रिकोण बनवता येतो?
अट अशी की त्रिकोणाची लांबी किंवा उंची 5 सेंटीमीटर पेक्षा जास्त नको.
त्रिकोण बनूच शकत अशी कोणती मुळाक्षरे आहेत?

3. त्रिकोणांचे चौकोन
दोन त्रिकोणांचा वापर करून चौकोन बनवता येईल?
मला वाटतं त्यासाठी एक अट आहे.
तुम्हाला सापडते का ती अट?
वेगवेगळे त्रिकोण घेऊन जुळवून पहा.
दोन त्रिकोणांच्या समान लांबी असलेल्या भुजा एकमेकांना जोडल्या तरच चौकोन तयार होतो.
तुम्हाला त्रिकोणांचे प्रकार माहिती आहेत.
सारख्या प्रकारचे दोन त्रिकोण जोडून कोणत्या प्रकारचा चौकोन बनतो?
भिन्न प्रकारचे दोन त्रिकोण जोडून कोणत्या प्रकारचा चौकोन बनतो?
दोन पेक्षा जास्त त्रिकोण जोडून चौकोन बनू शकतात का?
कोणते?


4. त्रिकोणाचे गुणधर्म - दोन बाजूंची लाबी
काड्यापेट्यांचे त्रिकोण. तुमच्याकडे काड्याची पेटी आहे?
तीन काड्या घेऊन एक त्रिकोण बनवता येतो.
तो समभुज त्रिकोण असतो.
समभुज त्रिकोणाच्या तीन बाजूच्या लांबीची बेरीज त्रिकोणाच्या  कोणत्याही एका बाजूच्या लांबीच्या तीन पट असते.
दोन बाजूंच्या लांबीची बेरीज एका बाजूच्या लांबीच्या दोन पट असते.

यावर असे म्हणता येईल का की -
कोणत्याही त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या लांबीची बेरीज ही तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते.

गाड्या पेटीच्या 25 किंवा अधिक काड्या घेऊन वेगवेगळ्या आकाराचे त्रिकोण बनवा आणि त्यावरून वरील विधान सिद्ध होते का पहा. काडी मोडायची नाही.

5. त्रिकोणाचे गुणधर्म - त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज
गाड्या भेटीतील गाड्या घेऊन वेगवेगळ्या आकाराचे प्रकारचे अनेक त्रिकोण तयार करा एक त्रिकोणातील तिने कोणाचे माप घ्या या मापाची बेरीज 180 अंश असते का हे तपासून पहा.

लसावि आणि मसावि 

कोणत्याही दोन‌ किंवा अधिक संख्या घेतल्या तर त्यांचा महत्तम साधारण विभाजक - म. सा. वि. - प्रत्येक संख्येला भाग देऊ शकणारा सर्वात मोठा विभाजक या संख्यांपेक्षा लहान किंवा लहान संख्येइतका असतो.

कोणत्याही दोन‌ किंवा अधिक संख्या घेतल्या तर त्यांचा लघुत्तम साधारण विभाज्य - ल. सा. वि. - प्रत्येक संख्येने भाग जाऊ शकणारा सर्वात लहान विभाज्य या संख्यांपेक्षा मोठा किंवा मोठ्या संख्येइतका असतो.

संख्यांचे अवयव पाडून ते ठरवले जातात.

काही मजेशीर गणिते करा.

1. फळांचे वाटप 

बेबीताईकडे दररोज १२० चिक्कू आणि १८० केळी असतात. त्या ही फळे समोर असणाऱ्या प्रत्येकाला समान संख्येने वाटतात. दररोज फळं घेणाऱ्या लोकांची संख्या वाढत जाते. रोज आलेल्या प्रत्येकाला समान फळे मिळतात आणि एकही फळ शिल्लक रहात नाही.

अशा प्रकारे त्या किती दिवस फळे वाटू शकतील? तुमचे उत्तर स्पष्ट करा. 

माझे उत्तर 12 आले आहे. तुमचे?

2. फुलांची रचना:

तुमच्याकडे 18 गुलाब आणि 12 कुमुदिनी (लिली) फुले आहेत. तुम्हाला प्रत्येक गटात समान संख्येने गुलाब आणि कुमुदिनी असलेले फुलांचे गट बनवायचे आहेत. असे किती गट बनू‌ शकतील?

म.सा.वि. काढायचा का ल.सा.वि.?

3. अपूर्णांकाचे लघू रूप

चला, अपूर्णांक साधा करण्याची सोपी गोष्ट समजून घेऊ! जर तुमच्याकडे मोठा अपूर्णांक असेल, जो खूप जड दिसतो, तर तो कसा साधा करायचा ते पाहू. उदाहरण म्हणून आपण 315/549 हा अपूर्णांक घेऊ आणि त्याला साधा करू. लघूरूप कसे साध्य करायचे: 1. अपूर्णांक पाहा: आपला अपूर्णांक आहे 315/549. 2. संख्यांचे अवयव‌ पाडा - 315 = 3 × 105 = 3 × 3 × 35 = 3 × 3 × 5 × 7 - 549 = 3 × 183 = 3 × 3 × 61 3. समान अवयव शोधा:

दोन्ही संख्यांमध्ये 3 × 3 = 9 आहे. हा आहे महत्तम साधारण विभाजक (म. सा. वि.) 4. 9 ने भागा - 315 ÷ 9 = 35 - 549 ÷ 9 = 61 - म्हणून, अपूर्णांक होतो

35/61. 5. पुन्हा तपासा:

35 (5 × 7) आणि 61 (मूळ संख्या) यांच्यात 1 व्यतिरिक्त कोणताही सामान भाग नाही. म्हणून, 35/61 हा साधा अपूर्णांक आहे.

हवे असल्यास आणखी उदाहरणे सांगतो!  पण तुम्ही‌ मनाने कोणतेही पाच मोठे अपूर्णांक घेऊन तपासा!

4. एका गावातल्या शाळा

एका गावात गावातल्या सगळ्या शाळा एकाच रस्त्यावर आहेत. 

या रस्त्याच्या दुतर्फा झाडे लावली आहेत. प्रत्येक दोन झाडांमधील अंतर १० मीटर आहे. 

रस्त्याच्या एका बाजूला प्रत्येक चौथे झाड फळांचे आहे. तर रस्त्याच्या दुसऱ्या बाजूला प्रत्येक पाचवे झाड फळांचे झाड आहे. 

प्रत्येक शाळा अशा ठिकाणी आहे की जेथे रस्त्याच्या दोन्ही बाजूंना फळांची झाडे आहेत. रस्ता दीड किलोमीटर लांब असेल तर गावात शाळा किती?

5. तबलजी समेवर कधी येणार?

त्रिताल आणि दादरा ही भारतीय शास्त्रीय संगीतातील दोन प्रमुख ताल आहेत. त्यांचे बोल खालीलप्रमाणे आहेत:

1. त्रिताल:
- खंड: 16 मात्रा (4+4+4+4)
- बोल: धा धिन् धिन् धा | धा धिन् धिन् धा | धा तिन् तिन् ता | ता धिन् धिन् धा
- सम: पहिली मात्रा (धा)
2. दादरा:
- खंड: 6 मात्रा (3+3)
- बोल: धा धिन् ना | धा तिन् ना
- सम: पहिली मात्रा (धा)
दोन तबला वादक एकाच लयीत वाजवत आहेत . एक त्रिताल वाजवत आहे दुसरा दादरा वाजवत आहे. तर दोघेही किती किती कालावधीने समेवर येतील?

6. मसाविचा गुप्त संदेश 

मी गच्चीवर आहे - हे मला गुप्त संदेश लिहून एका गुप्तहेराला कळवायचे होते.

मग मी लिहीले 
20 -G n fr ts ymj yjwwfhj 25
त्यावरून त्याला समजले की I am on the terrace
कसे? 
त्याने 20 नंतर -G पाहीले आणि शेवटी 25 पाहिले. 
G म्हणजे गुप्त संदेशात GCD म्हणजे म.सा.वि. आहे 
20 आणि 25 चा मसावि 5 येतो. 
- म्हणजे वजा करणे किंवा डावीकडे जाणे
हा संकेत आम्ही आधीच ठरवला होता.
n fr ts ymj yjwwfhj
या वाक्यातील प्रत्येक मुळाक्षराच्या डावीकडे असणारे 5 वे मुळाक्षर लिहीले की गुप्त संदेशाची उकल होणार. 

त्याने मला मेसेज पाठवला 
20 +G d vh xjhdib njji 25
यात‌ 20 आणि 25 चा मसावि काढून प्रत्येक मुळाक्षराच्या उजवीकडे असणारे 5 वे मुळाक्षर लिहीले की गुप्त संदेशाची उकल होणार. 

I am coming soon 

तुम्हाला असे गुप्त संदेश लिहीता येतील?
33 +G ....... 121

पूर्णांक संख्यांचा गुणाकार व भागाकार 

नैसर्गिक संख्या, शून्य आणि ऋण चिन्ह असलेल्या नैसर्गिक संख्या यांनी मिळून पूर्णांक संख्या बनतात. सर्व नैसर्गिक संख्या धन असतात.

एखाद्या आयताचे क्षेत्रफळ काढताना लांबी आणि रूंदीचा गुणाकार करतात. ही दोन्ही मापे धन संख्यात्मक असतात. 

1. ऋणात्मक संख्या कोठे वापरतात? 

व्यवहारात कोठे कोठे ऋणात्मक संख्यांचा वापर करावा लागतो?
1. रुपये खर्च झाले 
2. कोमेजलेली फुले
3. टाकीतून होणारी गळती
4. तळघराचे क्रमांक
5. समुद्रसपाटीपासून उंची 
अशी आणखी किती उदाहरणे देता येतील?
सर्वांची यादी करा.

2. ऋण संख्या गुणाकारात कोठे वापऱ्याव्या लागतात?

व्यवहारात कोठे कोठे ऋणात्मक संख्यांचा वापर करावा लागतो याची यादी पहा त्यापैकी कोणत्या ठिकाणी गुणाकार करून उत्तर मिळवावे लागते.
1. कर्ज म्हणजे ऋण. ते फेडण्याची गणिते करताना. दर महिन्याला ५००० रुपये कर्ज फेडले म्हणजे -५०००. वर्षात १२*-(५०००)
2. विरूद्ध दिशेने जाताना. पूर्वेकडे जाताना वेग +५० किमी प्रति तास असेल तर पश्चिमेकडे जाताना -५० प्रती तास 
3. कामातला खोळंबा मोजताना. एक व्यक्ती एका दिवसात १०० एकक काम करते. अशा ४ व्यक्ती कामावर आल्या नाहीत तर किती कामाचा खोळंबा होईल?
अशी आणखी उदाहरणे कोणती? विचार करा. चर्चा करा. लिहून काढा.

असे उपक्रम न केल्यामुळे किती बुद्धी वाया जाते?

3. गुणाकाराला चिन्ह!

एका वेलीवर रोज 50 फुले फुलतात तर अशा 8 वेलींवर किती फुले फुलतील?
हे गणित तुम्हाला करता येईल ?
50x8 = 400. बरोबर.
एका वेलीवर रोज 50 फुले फुलतात अशा 8 वेलींपैकी ३ करपल्या तर फुलांच्या संख्येत किती फरक पडला?
50 फुले x 3 करपल्या वेली

तेवढा फुलांच्या संख्येत फरक पडला.
50x(-3)= -150.
150 फुले कमी मिळाली.
३ वेली वाढल्या असत्या तर?

अशा प्रकारे आणखी दोन तीन उदाहरणे बनवता येतील?

4. आलेखाच्या कागदावर पुर्णांकाचा गुणाकार 

सोबतचे चित्र पहा. कागदाच्या मध्यावर एक उभी आणि एक आडवी रेष आखलेली आहे. उभ्या रेषेच्या वरच्या बाजूला धनात्मक संख्या लिहिल्या आहेत तर खालच्या बाजूला ऋणात्मक संख्या लिहिल्या आहेत मध्यबिंदूच्या उजव्या बाजूला धनात्मक संख्या लिहिल्या आहेत तर डाव्या बाजूला ऋणात्मक संख्या लिहिल्या आहेत. याचा उपयोग करून आपण पूर्णांकाच्या गुणाकाराचे चिन्ह नक्की करू शकतो.  उदाहरणार्थ- +3 x +5= +15

गुणाकाराची एक संख्या उभ्या रेषेवर आणि दुसरी संख्या आडव्या रेषेवर नोंदवायची. त्याचा एक आयत बनेल. त्यांचे क्षेत्रफळ ही गुणाकाराची किंमत!

तो शून्यच्या कोणत्या बाजूला बनतो ते पहायचे. त्यावरून गुणाकाराचे चिन्ह लक्षात येईल. 

अनेक प्रकारचे गुणाकार करून तपासा.
-5*+6
+8*-6
-3*-4

5. आलेखाच्या कागदावर पूर्णांकाचा भागाकार 

भागाकार म्हणजे उलटून गुणाकार 

आपल्याला 24/-6 हा भागाकार करायचा आहे .

कागदाच्या मध्यावर एक उभी आणि एक आडवी रेष आखलेली आहे. उभ्या रेषेच्या वरच्या बाजूला धनात्मक संख्या लिहिल्या आहेत तर खालच्या बाजूला ऋणात्मक संख्या लिहिल्या आहेत मध्यबिंदूच्या उजव्या बाजूला धनात्मक संख्या लिहिल्या आहेत तर डाव्या बाजूला ऋणात्मक संख्या लिहिल्या आहेत. याचा उपयोग करून आपण पूर्णांकाचा भागाकार करू शकतोगुणाकाराचे चिन्ह नक्की करू शकतो. 

आपल्याला 24/-6 हा भागाकार करायचा आहे .

कागदावर -6 जागा निवडायची तिथपासून वरती किंवा खाली सरकत (6, 12, करत ..) 24 चौकटी बनायला किती रेषा ओलांडायला लागतात? 4

+4 म्हणजे वरती -4 म्हणजे खालती

अशा प्रकारे आणखी भागाकार सोडवून पहा.